SSL で接続する際にエラーが発生しました。
プロトコルに違反する EOF が検出されました.

原因
サーバーが脆弱性のある接続を拒否したため

SSL 3.0 の脆弱性対策について
https://www.ipa.go.jp/security/announce/20141017-ssl.html

SSL3.0、TLS1.0、TLS1.1の脆弱性

対策
IdSSLIOHandlerSocketOpenSSL1のSSLOptions.Method プロパティ値が
sslvTLSv1 になっていると思われるので
Method := sslvSSLv23;
に変更する

Method プロパティ値を変更すると
SSLVersions値が勝手に変更されるので
これもあわせて、脆弱性のあるバージョンをfalseに変更する

コードで書く場合は
with IdSSLIOHandlerSocketOpenSSL1.SSLOptions do
begin
  Method := sslvSSLv23;
  SSLVersions := SSLVersions - [sslvSSLv3, sslvTLSv1, sslvTLSv1_1];
end;